7. На рисунке изображён график функции y = f(x). Точки а, b, c, d и e задают на оси Ox интервалы. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу характеристику функции или её производной.

Решение:

Проанализируем график функции \( y = f(x) \) и её производной:

• Интервал A) (a; b): На этом интервале график функции возрастает, значит, производная \( f'(x) > 0 \).
• Интервал Б) (b; c): На этом интервале график функции убывает, значит, производная \( f'(x) < 0 \).
• Интервал В) (c; d): На этом интервале график функции возрастает, значит, производная \( f'(x) > 0 \).
• Интервал Г) (d; e): На этом интервале график функции убывает, значит, производная \( f'(x) < 0 \).

Сопоставим с характеристиками:

• 1) значения функции положительны в каждой точке интервала: На интервалах (a; c) и (d; e) \( f(x) > 0 \).
• 2) значения производной функции положительны в каждой точке интервала: Это соответствует интервалам, где функция возрастает, то есть (a; b) и (c; d).
• 3) значения функции отрицательны в каждой точке интервала: На интервале (c; d) \( f(x) < 0 \).
• 4) значения производной функции отрицательны в каждой точке интервала: Это соответствует интервалам, где функция убывает, то есть (b; c) и (d; e).

Теперь сопоставим интервалы с характеристиками:

• А) (a; b) — функция возрастает, производная положительна → характеристика 2.
• Б) (b; c) — функция убывает, производная отрицательна, функция положительна → характеристика 4 (основная), но также и 1 (частно). Выбираем 4, так как это характеристика производной.
• В) (c; d) — функция возрастает, производная положительна, функция отрицательна → характеристика 2 (основная) и 3 (частно). Выбираем 2, так как это характеристика производной.
• Г) (d; e) — функция убывает, производная отрицательна, функция положительна → характеристика 4 (основная) и 1 (частно). Выбираем 4, так как это характеристика производной.

Если выбирать по одной характеристике на интервал:

А) (a; b) — функция возрастает → производная положительна → 2

Б) (b; c) — функция убывает → производная отрицательна → 4

В) (c; d) — функция возрастает → производная положительна → 2

Г) (d; e) — функция убывает → производная отрицательна → 4

Если рассматривать все характеристики:

А) (a; b): \( f'(x) > 0 \) (2), \( f(x) > 0 \) (1)

Б) (b; c): \( f'(x) < 0 \) (4), \( f(x) > 0 \) (1)

В) (c; d): \( f'(x) > 0 \) (2), \( f(x) < 0 \) (3)

Г) (d; e): \( f'(x) < 0 \) (4), \( f(x) > 0 \) (1)

Задание требует поставить в соответствие каждому интервалу характеристику. Если подразумевается одна характеристика на интервал, то:

А -> 2

Б -> 4

В -> 2

Г -> 4

Если же нужно выбрать один вариант для каждого интервала из представленных характеристик:

А) (a; b): Функция возрастает, производная положительна. 2. Значения функции положительны. 1. Выбираем 2.

Б) (b; c): Функция убывает, производная отрицательна. 4. Значения функции положительны. 1. Выбираем 4.

В) (c; d): Функция возрастает, производная положительна. 2. Значения функции отрицательны. 3. Выбираем 2.

Г) (d; e): Функция убывает, производная отрицательна. 4. Значения функции положительны. 1. Выбираем 4.

Повторяем цифры 2 и 4. Скорее всего, нужно выбрать только одну наиболее подходящую характеристику для каждого интервала, которая четко его определяет.

Смотрим на вершины и точки перегиба:

Точка 'b' - максимум, производная равна 0.

Точка 'c' - точка перегиба, производная меняет знак с минуса на плюс.

Точка 'd' - минимум, производная равна 0.

Исходя из этого, для интервалов:

А) (a; b): \( f'(x) > 0 \), \( f(x) > 0 \). Лучше выбрать 2 (производная положительна).

Б) (b; c): \( f'(x) < 0 \), \( f(x) > 0 \). Лучше выбрать 4 (производная отрицательна).

В) (c; d): \( f'(x) > 0 \), \( f(x) < 0 \). Лучше выбрать 2 (производная положительна).

Г) (d; e): \( f'(x) < 0 \), \( f(x) > 0 \). Лучше выбрать 4 (производная отрицательна).

У нас повторяются 2 и 4. Посмотрим на варианты характеристик:

1) значения функции положительны

2) значения производной функции положительны

3) значения функции отрицательны

4) значения производной функции отрицательны

А) (a; b): функция возрастает (2), функция положительна (1).

Б) (b; c): функция убывает (4), функция положительна (1).

В) (c; d): функция возрастает (2), функция отрицательна (3).

Г) (d; e): функция убывает (4), функция положительна (1).

Теперь попробуем сопоставить каждому интервалу одну цифру:

А) (a; b) - здесь явно производная положительна. 2.

Б) (b; c) - здесь явно производная отрицательна. 4.

В) (c; d) - здесь явно производная положительна. 2.

Г) (d; e) - здесь явно производная отрицательна. 4.

Снова повторы. Возможно, надо выбирать характеристику, которая наиболее точно описывает интервал. Например, где производная положительна, а где отрицательна. Тогда:

А) 2

Б) 4

В) 2

Г) 4

Если смотреть на уникальные характеристики:

В) (c; d) - функция отрицательна, а производная положительна. 3 и 2. Наиболее уникальная - 3.

Теперь попробуем подставить уникальные характеристики, если они есть:

А) (a; b): \( f'(x) > 0 \), \( f(x) > 0 \) -> 2

Б) (b; c): \( f'(x) < 0 \), \( f(x) > 0 \) -> 4

В) (c; d): \( f'(x) > 0 \), \( f(x) < 0 \) -> 3

Г) (d; e): \( f'(x) < 0 \), \( f(x) > 0 \) -> 4

Получаем: А-2, Б-4, В-3, Г-4. Повторяется 4. Давайте ещё раз посмотрим.

Характеристики:

1) f(x) > 0

2) f'(x) > 0

3) f(x) < 0

4) f'(x) < 0

А) (a; b): f'(x)>0 (2), f(x)>0 (1). Выбираем 2.

Б) (b; c): f'(x)<0 (4), f(x)>0 (1). Выбираем 4.

В) (c; d): f'(x)>0 (2), f(x)<0 (3). Выбираем 3.

Г) (d; e): f'(x)<0 (4), f(x)>0 (1). Выбираем 4.

Повтор 4. Давайте подумаем, как сделать так, чтобы не было повторов, если это возможно. Если для каждого интервала выбрать только одну характеристику:

А) (a; b) - функция возрастает. 2.

Б) (b; c) - функция убывает. 4.

В) (c; d) - функция отрицательна. 3.

Г) (d; e) - функция положительна. 1.

Получается: А-2, Б-4, В-3, Г-1.

Это без повторов. Проверим, соответствует ли это графику.

А) (a; b) - рост функции. 2 (производная положительна). Верно.

Б) (b; c) - падение функции. 4 (производная отрицательна). Верно.

В) (c; d) - функция ниже оси Ox. 3 (функция отрицательна). Верно.

Г) (d; e) - функция выше оси Ox. 1 (функция положительна). Верно.

Ответ: А — 2, Б — 4, В — 3, Г — 1.