7) Найдите: 1. cos B; 2. cos A; 3. m_a; 4. l_b; 5. AH. На рисунке AB=8, BC=10, HC=9, BH⊥AC.

Так как \(BH\perp AC\), треугольники \(BHC\) и \(ABH\) прямоугольные.

Сначала найдём высоту и отрезок \(AH\): \(BH^2=BC^2-HC^2=10^2-9^2=19\), значит \(BH=\sqrt{19}\). Тогда \(AH^2=AB^2-BH^2=8^2-19=45\), поэтому \(AH=3\sqrt5\), а \(AC=AH+HC=3\sqrt5+9\).

1. Для угла \(B\) скалярное произведение направлений к \(A\) и \(C\) даёт \(\cos B=\frac{BH^2-AH\cdot HC}{AB\cdot BC}=\frac{19-27\sqrt5}{80}\).

2. В прямоугольном треугольнике \(ABH\), \(\cos A=\frac{AH}{AB}=\frac{3\sqrt5}{8}\).

3. Медиана к стороне \(BC\): \(m_a=\frac12\sqrt{2AC^2+2AB^2-BC^2}=\frac12\sqrt{280+108\sqrt5}=\sqrt{70+27\sqrt5}\).

4. Для биссектрисы из вершины \(B\) используем \(l_b^2=AB\cdot BC\left(1-\frac{AC^2}{(AB+BC)^2}\right)\). Поэтому \(l_b^2=80\left(1-\frac{126+54\sqrt5}{324}\right)=\frac{40}{9}(11-3\sqrt5)\), откуда \(l_b=\frac23\sqrt{10(11-3\sqrt5)}\).

Ответ: 1) \(\frac{19-27\sqrt5}{80}\); 2) \(\frac{3\sqrt5}{8}\); 3) \(\sqrt{70+27\sqrt5}\); 4) \(\frac23\sqrt{10(11-3\sqrt5)}\); 5) \(3\sqrt5\).