9) Дан параллелограмм ABCD. Найдите: 1. DC; 2. cos ADB; 3. cos AOD; 4. sin AOD; 5. S_{ABCD}. На рисунке AD=8, AO=14, OD=13; O — точка пересечения диагоналей.

Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому \(AC=28\), \(BD=26\). Также противоположные стороны равны: \(AB=DC\).

1. По закону параллелограмма \(AC^2+BD^2=2(AD^2+DC^2)\). Тогда \(DC^2=\frac{28^2+26^2}{2}-8^2=666\), следовательно, \(DC=\sqrt{666}=3\sqrt{74}\).

2. В треугольнике \(ADB\) стороны равны \(AD=8\), \(DB=26\), \(AB=3\sqrt{74}\). По теореме косинусов: \(\cos ADB=\frac{AD^2+DB^2-AB^2}{2\cdot AD\cdot DB}=\frac{64+676-666}{416}=\frac{37}{208}\).

3. В треугольнике \(AOD\) известны стороны \(AO=14\), \(OD=13\), \(AD=8\). Поэтому \(\cos AOD=\frac{AO^2+OD^2-AD^2}{2\cdot AO\cdot OD}=\frac{196+169-64}{364}=\frac{43}{52}\).

4. Угол \(AOD\) острый, поэтому \(\sin AOD=\sqrt{1-\cos^2 AOD}=\frac{\sqrt{855}}{52}=\frac{3\sqrt{95}}{52}\).

5. Диагонали делят параллелограмм на четыре равновеликих треугольника. Поэтому \(S_{ABCD}=4\cdot\frac12\cdot AO\cdot OD\cdot\sin AOD=2\cdot14\cdot13\cdot\frac{3\sqrt{95}}{52}=21\sqrt{95}\).

Ответ: 1) \(3\sqrt{74}\); 2) \(\frac{37}{208}\); 3) \(\frac{43}{52}\); 4) \(\frac{3\sqrt{95}}{52}\); 5) \(21\sqrt{95}\).