7. Найдите большее основание равнобедренной трапеции, у которой площадь равна 68√3, боковая сторона равна 8, а острый угол равен 60°.

Решение:

Пусть \( a \) — большее основание, \( b \) — меньшее основание, \( c \) — боковая сторона, \( h \) — высота трапеции.

Площадь трапеции: \( S = \frac{a+b}{2} \cdot h = 68\sqrt{3} \).

Боковая сторона \( c = 8 \), острый угол \( = 60^{\circ} \).

Найдем высоту \( h \). В прямоугольном треугольнике, образованном боковой стороной, высотой и частью большего основания, синус острого угла равен отношению противолежащего катета (высоты) к гипотенузе (боковой стороне):

\( \sin(60^{\circ}) = \frac{h}{c} \)

\( \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{8} \)

\( h = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \) см.

Теперь найдем часть большего основания, которая отсекается высотой. Косинус острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:

\( \cos(60^{\circ}) = \frac{x}{c} \)

\( \frac{1}{2} = \frac{x}{8} \)

\( x = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4 \) см.

Большее основание \( a = b + 2x \) (для равнобедренной трапеции).

Подставим \( h \) и \( a \) в формулу площади:

\( 68\sqrt{3} = \frac{(b+2x)+b}{2} \cdot h \)

\( 68\sqrt{3} = \frac{2b+2x}{2} \cdot h \)

\( 68\sqrt{3} = (b+x) \cdot h \)

\( 68\sqrt{3} = (b+4) \cdot 4\sqrt{3} \)

Разделим обе части на \( 4\sqrt{3} \):

\( \frac{68\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} = b+4 \)

\( 17 = b+4 \)

\( b = 17 - 4 = 13 \) см.

Теперь найдем большее основание \( a \):

\( a = b + 2x = 13 + 2 \cdot 4 = 13 + 8 = 21 \) см.

Ответ: 21 см