7. Найдите большее основание равнобедренной трапеции, у которой площадь равна 68√3, боковая сторона равна 8, а острый угол равен 60°.

Решение:

1. Обозначим большее основание трапеции как a, меньшее основание как b, боковую сторону как c, высоту как h, острый угол как α.
2. Площадь трапеции S = ½(a + b)h. По условию, S = 68√3, c = 8, α = 60°.
3. В равнобедренной трапеции, опустив высоту из концов меньшего основания на большее, получим прямоугольный треугольник, где гипотенуза — боковая сторона (c), а катеты — высота (h) и половина разности оснований (½(a-b)).
4. Найдем высоту h: h = c × sin(α) = 8 × sin(60°) = 8 × √3/2 = 4√3.
5. Найдем отрезок, который составляет половина разности оснований: ½(a - b) = c × cos(α) = 8 × cos(60°) = 8 × 1/2 = 4.
6. Из этого следует, что a - b = 8.
7. Подставим найденные значения в формулу площади: 68√3 = ½(a + b)(4√3).
8. Разделим обе стороны на 4√3: 68√3 / (4√3) = ½(a + b).
9. 17 = ½(a + b), следовательно, a + b = 34.
10. Теперь у нас есть система уравнений:
• a - b = 8
• a + b = 34
11. Сложим два уравнения: (a - b) + (a + b) = 8 + 34 => 2a = 42 => a = 21.
12. Найдем b, подставив a в любое из уравнений: 21 + b = 34 => b = 13.
13. Большее основание трапеции равно a.

Ответ: 21