7. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции \(f(x) = x^4 - 2x^2\) на отрезке \([-2; 1]\)

Решение:

1. Найдем производную функции: \(f'(x) = (x^4 - 2x^2)' = 4x^3 - 4x\).
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \(4x^3 - 4x = 0\) \(4x(x^2 - 1) = 0\).
3. Корни уравнения: \(x = 0\), \(x = 1\), \(x = -1\).
4. Все найденные критические точки \(x = -1, 0, 1\) принадлежат отрезку \([-2; 1]\).
5. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка:
• \(f(-2) = (-2)^4 - 2(-2)^2 = 16 - 2(4) = 16 - 8 = 8\).
• \(f(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 = 1 - 2(1) = 1 - 2 = -1\).
• \(f(0) = 0^4 - 2(0)^2 = 0 - 0 = 0\).
• \(f(1) = 1^4 - 2(1)^2 = 1 - 2 = -1\).
6. Сравним полученные значения: \(8, -1, 0, -1\).
7. Наибольшее значение равно 8.
8. Наименьшее значение равно -1.

Ответ: Наибольшее значение — 8, наименьшее значение — -1.