8. Площадь сечения шара плоскостью, проведенной на расстоянии 6 см от центра, равна 64\(\pi\) см². Найти объем шара.

Решение:

1. Сечение шара плоскостью — это круг. Площадь этого круга равна \(S = \pi r^2\), где \(r\) — радиус круга.
2. По условию \(S = 64\pi\) см².
3. Значит, \(\pi r^2 = 64\pi\) → \(r^2 = 64\) → \(r = 8\) см.
4. Радиус сечения \(r\) связан с радиусом шара \(R\) и расстоянием от центра шара до плоскости \(d\) формулой: \(R^2 = r^2 + d^2\).
5. По условию \(d = 6\) см.
6. Подставим известные значения: \(R^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100\).
7. Значит, радиус шара \(R = \sqrt{100} = 10\) см.
8. Объём шара вычисляется по формуле \(V = \frac{4}{3} \pi R^3\).
9. Подставим радиус шара: \(V = \frac{4}{3} \pi (10)^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 1000 = \frac{4000\pi}{3}\) см³

Ответ: \(\frac{4000\pi}{3}\) см³.