7. Найдите наименьшее целое решение неравенства (√3 / 2)^(x^2+5x+6 / x+2) < 1.

Решение:

Рассмотрим неравенство:

\[ \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{\frac{x^2+5x+6}{x+2}} < 1 \]

Поскольку основание степени \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) меньше 1 (так как \( \sqrt{3} \approx 1.732 \), то \( \frac{1.732}{2} \approx 0.866 \)), то при раскрытии показателя степени знак неравенства меняется на противоположный.

Также, перед тем как работать с показателем, необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ) для переменной x. Знаменатель дроби не может быть равен нулю:

\[ x + 2 \neq 0 \]\[ x \neq -2 \]

Теперь приравняем показатель степени к знаку неравенства:

\[ \frac{x^2+5x+6}{x+2} > 0 \]

Разложим числитель на множители. Найдем корни квадратного трехчлена x^2 + 5x + 6 = 0. Дискриминант \( D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \). Корни: \( x_1 = \frac{-5+1}{2} = -2 \) и \( x_2 = \frac{-5-1}{2} = -3 \).

Таким образом, числитель можно записать как (x + 2)(x + 3).

Неравенство примет вид:

\[ \frac{(x+2)(x+3)}{x+2} > 0 \]

Сократим (x + 2), учитывая, что x ≠ -2:

\[ x + 3 > 0 \]\[ x > -3 \]

Учитывая ОДЗ \( x \neq -2 \), получаем, что решениями неравенства являются x > -3, за исключением x = -2. То есть, \( x ∈ (-3; -2) ∪ (-2; ∞) \).

Нас просят найти наименьшее ЦЕЛОЕ решение. Наименьшее целое число, большее -3, — это -2. Однако, x = -2 не входит в ОДЗ.

Следующее целое число — это -1.

Ответ: -1.