7. Найдите площадь полной поверхности тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетами 3 см и 4 см вокруг большего катета.

Решение:

При вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов образуется конус.

В данном случае, вращение происходит вокруг большего катета, который равен 4 см. Этот катет будет высотой конуса \( h = 4 \) см.

Меньший катет, равный 3 см, станет радиусом основания конуса \( r = 3 \) см.

Чтобы найти площадь полной поверхности конуса, нам нужно знать образующую \( l \).

Образующая конуса находится по теореме Пифагора:

\[ l = \sqrt{h^2 + r^2} \]\[ l = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \) см.

Площадь полной поверхности конуса складывается из площади боковой поверхности и площади основания:

\[ S_{полн} = S_{бок} + S_{осн} \]\[ S_{бок} = \pi r l \]\[ S_{осн} = \pi r^2 \]

Подставляем значения:

\[ S_{бок} = \(\pi\) \(\cdot\) 3 \(\cdot\) 5 = 15\(\pi\) \) см².

\[ S_{осн} = \(\pi\) \(\cdot\) 3^2 = 9\(\pi\) \) см².

Теперь находим площадь полной поверхности:

\[ S_{полн} = 15\(\pi\) + 9\(\pi\) = 24\(\pi\) \) см².

Ответ: $$24\pi$$ см².