4. Функция $$y=f(x)$$ задана своим графиком. Укажите: а) область определения функции; б) при каких значениях $$x$$ $$f'(x) < 0$$, $$f(x) > 0$$; в) координаты точек экстремума; г) при каких значениях $$x$$ $$f(x) ≤ -2$$; д) наибольшее и наименьшее значения функции.

Анализ графика функции $$y=f(x)$$:

а) Область определения функции (D(f)):
Область определения — это все допустимые значения $$x$$. Глядя на график, функция определена для $$x$$ от -3 до 3.

• D(f) = [-3; 3]

б) При каких значениях $$x$$ $$f'(x) < 0$$, $$f(x) > 0$$:
$$f'(x) < 0$$ означает, что функция убывает. На графике это промежуток $$x ∈ (-1; 3)$$.
$$f(x) > 0$$ означает, что график находится выше оси $$x$$. На графике это промежуток $$x ∈ (-3; 1)$$.
Объединяем условия: функция убывает И находится выше оси $$x$$.

• $$x ∈ (-1; 1)$$

в) Координаты точек экстремума:
Экстремумы (минимумы и максимумы) находятся в точках, где график меняет направление (касательная горизонтальна, $$f'(x)=0$$).

• Точка локального минимума: $$(-1; -2)$$.
• Точка локального максимума: $$(1; 2)$$.

г) При каких значениях $$x$$ $$f(x) ≤ -2$$:
Это означает, что значение функции меньше или равно -2. Глядя на график, это происходит в одной точке.

• $$x = -1$$

д) Наибольшее и наименьшее значения функции:
Наибольшее значение функции — это максимальная $$y$$-координата на графике.
Наименьшее значение функции — это минимальная $$y$$-координата на графике.

• Наибольшее значение: $$y = 2$$ (в точке $$x=1$$).
• Наименьшее значение: $$y = -2$$ (в точке $$x=-1$$).