8. Высота правильной шестиугольной пирамиды равна 12 см, а боковое ребро — 13 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение:

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

1. Найдём периметр основания:

Основание — правильный шестиугольник. Сторона правильного шестиугольника \( a \) связана с радиусом описанной окружности \( R \) (который равен боковому ребру \( b \)) соотношением \( a = R \) для правильного шестиугольника. Следовательно, сторона основания \( a = 13 \) см.

Периметр основания \( P = 6a = 6 \cdot 13 = 78 \) см.

2. Найдём апофему пирамиды:

Апофема \( h_a \) — это высота боковой грани. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды \( H \), радиусом вписанной окружности в основание \( r \) и апофемой \( h_a \).

Сначала найдём радиус вписанной окружности в основание. Для правильного шестиугольника радиус вписанной окружности \( r \) связан со стороной \( a \) формулой \( r = \frac{a\sqrt{3}}{2} \).

\[ r = \frac{13\sqrt{3}}{2} \) см.

Теперь найдём апофему \( h_a \) по теореме Пифагора, используя прямоугольный треугольник с катетами \( H=12 \) и \( r=\frac{13\sqrt{3}}{2} \), и гипотенузой \( h_a \):

\[ h_a^2 = H^2 + r^2 \]\[ h_a^2 = 12^2 + (\frac{13\sqrt{3}}{2})^2 \]\[ h_a^2 = 144 + \frac{169 \cdot 3}{4} \]\[ h_a^2 = 144 + \frac{507}{4} \]\[ h_a^2 = \frac{576 + 507}{4} = \frac{1083}{4} \]\[ h_a = \sqrt{\frac{1083}{4}} = \frac{\sqrt{1083}}{2} = \frac{\sqrt{9 \cdot 120.33..}}{2} \] — здесь, вероятно, ошибка в условии или в расчете. Проверим другой вариант: апофема как высота боковой грани. Если боковое ребро 13, а высота пирамиды 12, то радиус основания, который является катетом в треугольнике с высотой и боковым ребром, можно найти по Пифагору. Однако, радиус основания правильного шестиугольника равен стороне. Если сторона 13, то боковое ребро должно быть больше 13.

Корректировка:

Давайте предположим, что 13 см - это длина бокового ребра, и 12 см - это высота пирамиды. В правильном шестиугольнике радиус описанной окружности равен стороне. Пусть сторона основания равна \( a \). Тогда боковое ребро \( b = 13 \), а высота пирамиды \( H = 12 \). В прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды, радиусом описанной окружности (равным стороне основания \( a \)) и боковым ребром \( b \), имеем:

\[ b^2 = H^2 + a^2 \]\[ 13^2 = 12^2 + a^2 \]\[ 169 = 144 + a^2 \]\[ a^2 = 169 - 144 = 25 \]\[ a = 5 \) см.

Теперь периметр основания:

\[ P = 6a = 6 \cdot 5 = 30 \) см.

Теперь найдём апофему \( h_a \). Апофема — это высота боковой грани. В боковой грани (равнобедренном треугольнике) есть высота \( h_a \), половина стороны основания \( \frac{a}{2} \) и боковое ребро \( b \) как гипотенуза.

\[ h_a^2 = b^2 - (\frac{a}{2})^2 \]\[ h_a^2 = 13^2 - (\frac{5}{2})^2 \]\[ h_a^2 = 169 - \frac{25}{4} \]\[ h_a^2 = \frac{676 - 25}{4} = \frac{651}{4} \]\[ h_a = \sqrt{\frac{651}{4}} = \frac{\sqrt{651}}{2} \) см.

Площадь боковой поверхности:

\[ S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot h_a \]\[ S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot \frac{\sqrt{651}}{2} \]\[ S_{бок} = 15 \(\cdot\) \(\frac{\sqrt{651}}{2}\) = \(\frac{15\sqrt{651}}{2}\) \) см².

Ответ: $$\frac{15\sqrt{651}}{2}$$ см².