7. Найдите значение выражения $$\frac{10b^2}{a^2 - 36} + \frac{10b}{a + 6}$$ при а = 4,5 и b = 6.

Решение:

Для нахождения значения выражения подставим данные значения а и b. Заметим, что знаменатель первой дроби $$a^2 - 36$$ является разностью квадратов и может быть разложен на множители: $$a^2 - 36 = (a - 6)(a + 6)$$.

1. Преобразуем выражение:

   Мы можем привести дроби к общему знаменателю $$(a - 6)(a + 6)$$:

   \[ \frac{10b^2}{(a - 6)(a + 6)} + \frac{10b(a - 6)}{(a + 6)(a - 6)} \]

2. Сложим дроби:

   Теперь, когда у нас общий знаменатель, мы можем сложить числители:

   \[ \frac{10b^2 + 10b(a - 6)}{(a - 6)(a + 6)} = \frac{10b^2 + 10ab - 60b}{(a - 6)(a + 6)} \]

3. Подставим значения а = 4,5 и b = 6:

   Числитель:

   $$10 ⋅ 6^2 + 10 ⋅ 4,5 ⋅ 6 - 60 ⋅ 6 = 10 ⋅ 36 + 270 - 360 = 360 + 270 - 360 = 270$$

   Знаменатель:

   $$(4,5 - 6)(4,5 + 6) = (-1,5)(10,5) = -15,75$$

4. Вычислим значение выражения:

   $$\frac{270}{-15,75}$$

   Чтобы упростить деление, преобразуем десятичные дроби в обыкновенные:

   $$-15,75 = -15 \frac{3}{4} = -\frac{63}{4}$$

   \[ \frac{270}{-\frac{63}{4}} = 270 ⋅ \left(-\frac{4}{63}\right) = -\frac{270 ⋅ 4}{63} \]

   Сократим 270 и 63 на 9:

   \[ -\frac{30 ⋅ 4}{7} = -\frac{120}{7} \]

5. Альтернативный подход (упрощение до подстановки):

   Можно сначала упростить выражение, разложив числитель:

   \[ \frac{10b(b + a - 6)}{(a - 6)(a + 6)} \]

   При подстановке $$b=6$$, числитель становится $$10 ⋅ 6 (6 + a - 6) = 60a$$. Знаменатель $$(a-6)(a+6)$$.

   Тогда выражение равно $$\frac{60a}{(a-6)(a+6)}$$.

   Подставим $$a=4,5$$:

   \[ \frac{60 ⋅ 4,5}{(4,5-6)(4,5+6)} = \frac{270}{(-1,5)(10,5)} = \frac{270}{-15,75} = -\frac{120}{7} \]

Финальный ответ:

Ответ: $$-\frac{120}{7}$$