В треугольнике АВС известно, что АС = BC, AB = 18, tg A = $$\frac{2\sqrt{22}}{9}$$. Найдите длину стороны АС.

Решение:

В треугольнике ABC известно, что AC = BC, что означает, что треугольник является равнобедренным. Углы при основании равны, то есть $$\angle A = \angle B$$.

Дано tg A = $$\frac{2\sqrt{22}}{9}$$.

В равнобедренном треугольнике проведем высоту CD к основанию AB. Высота в равнобедренном треугольнике является также медианой и биссектрисой. Следовательно, CD делит AB пополам, и $$AD = DB = \frac{18}{2} = 9$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC. У нас есть:

• $$\text{tg } A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{CD}{AD}$$
• $$\frac{2\text{√22}}{9} = \frac{CD}{9}$$

Отсюда находим длину высоты CD:

$$CD = 9 ⋅ \frac{2\text{√22}}{9} = 2\text{√22}$$.

Теперь, используя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике ADC, найдем длину гипотенузы AC:

$$AC^2 = AD^2 + CD^2$$

$$AC^2 = 9^2 + (2\text{√22})^2$$

$$AC^2 = 81 + (4 ⋅ 22)$$

$$AC^2 = 81 + 88$$

$$AC^2 = 169$$

$$AC = √{169}$$

$$AC = 13$$.

Финальный ответ:

Ответ: 13