7. Найти f'(1), если f(x) = (3x+2)^4.

Решение:

Для нахождения \( f'(1) \) сначала найдём производную функции \( f(x) = (3x+2)^4 \).

1. Используем правило дифференцирования сложной функции. Пусть \( u = 3x+2 \), тогда \( f(x) = u^4 \).
2. Производная \( f'(x) \) будет \( \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx} \).
3. \( \frac{df}{du} = 4u^3 = 4(3x+2)^3 \).
4. \( \frac{du}{dx} = 3 \).
5. Таким образом, \( f'(x) = 4(3x+2)^3 \cdot 3 = 12(3x+2)^3 \).
6. Теперь найдём значение производной в точке \( x=1 \): \( f'(1) = 12(3 \cdot 1 + 2)^3 \).
7. \( f'(1) = 12(3+2)^3 \)
8. \( f'(1) = 12(5)^3 \)
9. \( f'(1) = 12 \cdot 125 \)
10. \( 12 \cdot 125 = 12 \cdot (100 + 25) = 1200 + 300 = 1500 \).

Ответ: 1500.