8. Найти точки экстремума функции y = -3x⁴ + 24x² + 5.

Решение:

Чтобы найти точки экстремума, нужно найти первую производную функции и приравнять её к нулю.

\( y' = \frac{d}{dx}(-3x^4 + 24x^2 + 5) \)

\( y' = -12x^3 + 48x \)

Приравняем производную к нулю:

\( -12x^3 + 48x = 0 \)

Вынесем общий множитель \( -12x \):

\( -12x(x^2 - 4) = 0 \)

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

\( -12x = 0 \) или \( x^2 - 4 = 0 \)

Из \( -12x = 0 \) получаем \( x = 0 \).

Из \( x^2 - 4 = 0 \) получаем \( x^2 = 4 \), следовательно \( x = 2 \) или \( x = -2 \).

Таким образом, критические точки: \( x = -2, x = 0, x = 2 \).

Теперь проверим знаки второй производной в этих точках, чтобы определить тип экстремума.

Найдём вторую производную:

\( y'' = \frac{d}{dx}(-12x^3 + 48x) = -36x^2 + 48 \)

Проверим знаки \( y'' \) в критических точках:

• При \( x = -2 \): \( y''(-2) = -36(-2)^2 + 48 = -36(4) + 48 = -144 + 48 = -96 < 0 \). Следовательно, в \( x = -2 \) — максимум.
• При \( x = 0 \): \( y''(0) = -36(0)^2 + 48 = 48 > 0 \). Следовательно, в \( x = 0 \) — минимум.
• При \( x = 2 \): \( y''(2) = -36(2)^2 + 48 = -36(4) + 48 = -144 + 48 = -96 < 0 \). Следовательно, в \( x = 2 \) — максимум.

Найдем значения функции в этих точках:

\( y(-2) = -3(-2)^4 + 24(-2)^2 + 5 = -3(16) + 24(4) + 5 = -48 + 96 + 5 = 53 \)

\( y(0) = -3(0)^4 + 24(0)^2 + 5 = 5 \)

\( y(2) = -3(2)^4 + 24(2)^2 + 5 = -3(16) + 24(4) + 5 = -48 + 96 + 5 = 53 \)

Точки экстремума:

Максимум: \( (-2; 53) \) и \( (2; 53) \).

Минимум: \( (0; 5) \).

Ответ: Точки максимума: \( (-2; 53) \) и \( (2; 53) \). Точка минимума: \( (0; 5) \).