7) Найти $\sin 2\alpha$, если $\cos\left(\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{8}\right)=-\frac{2}{\sqrt5}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 7) Найти $\sin 2\alpha$, если $\cos\left(\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{8}\right)=-\frac{2}{\sqrt5}$.$ Фото задания

Accepted Answer

Обозначим $x=\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{8}$. Тогда $\alpha=2x+\frac{\pi}{4}$, поэтому $2\alpha=4x+\frac{\pi}{2}$.

По формуле приведения $\sin(4x+\frac{\pi}{2})=\cos 4x$. Используем формулу $\cos 4x=8\cos^4 x-8\cos^2 x+1$:

$\sin 2\alpha=8\left(-\frac{2}{\sqrt5}\right)^4-8\left(-\frac{2}{\sqrt5}\right)^2+1=\frac{128}{25}-\frac{160}{25}+\frac{25}{25}=-\frac{7}{25}.$

Ответ: $-\frac{7}{25}$.

7) Найти \(\sin 2\alpha\), если \(\cos\left(\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{8}\right)=-\frac{2}{\sqrt5}\).