7. Отрезок AC – биссектриса угла BAD. В треугольниках ABC и ADC углы ABC и ACD равны. Определите в силу какого признака равенства треугольников треугольники ABC и CDA равны

Анализ условия:

• AC – биссектриса ∠BAD, значит ∠BAC = ∠CAD.
• ∠ABC = ∠ACD (дано).
• Нужно определить признак равенства треугольников ABC и CDA.

Рассмотрим треугольники ABC и CDA:

• Сторона AC – общая для обоих треугольников.
• Угол ∠BAC = ∠CAD (так как AC – биссектриса ∠BAD).
• Угол ∠ABC = ∠ACD (дано).

У нас есть две пары равных углов и одна общая сторона, которая прилежит к одному из этих углов (∠BAC и ∠CAD). Но эта сторона не является общей между углами в каждом треугольнике.

Рассмотрим другую пару углов:

В треугольнике ABC: ∠ABC, ∠BAC, ∠BCA.

В треугольнике CDA: ∠ACD, ∠CAD, ∠CDA.

Мы знаем, что ∠ABC = ∠ACD и ∠BAC = ∠CAD.

Следовательно, сумма углов в каждом треугольнике равна 180°, значит и третьи углы равны:

∠BCA = 180° - ∠ABC - ∠BAC

∠CDA = 180° - ∠ACD - ∠CAD

Поскольку ∠ABC = ∠ACD и ∠BAC = ∠CAD, то ∠BCA = ∠CDA.

Теперь у нас есть:

• Угол ∠BAC = Угол ∠CAD
• Сторона AC = Сторона CA (общая)
• Угол ∠BCA = Угол ∠CDA

Это признак равенства треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам (УСУ).

Проверим предложенные варианты:

А. По двум сторонам и углу между ними (СУС) – не подходит, у нас два угла и одна сторона.

Б. По стороне и двум прилежащим к ней углам (УСУ) – подходит.

В. По трём сторонам (ССС) – не подходит.

Г. Определить невозможно – подходит, если бы не было УСУ.

Важно: Признак равенства треугольников по стороне и двум прилежащим углам (УСУ) применяется, когда сторона лежит между этими углами. В нашем случае, сторона AC прилежит к углам ∠BAC и ∠BCA в ΔABC, и к углам ∠CAD и ∠CDA в ΔCDA. Мы доказали, что ∠BCA = ∠CDA.

Итак, в ΔABC: ∠BAC, сторона AC, ∠BCA.

В ΔCDA: ∠CAD, сторона CA, ∠CDA.

Мы имеем: ∠BAC = ∠CAD, AC = CA, ∠BCA = ∠CDA.

Таким образом, это признак равенства по стороне и двум прилежащим углам (УСУ).

Ответ: Б. По стороне и двум прилежащим к ней углам