7. Получите формулу для вычисления гравитационной постоянной, если известны масса Солнца, радиусы и периоды обращения планет Солнечной системы. Вычислите значение гравитационной постоянной и сравните его с табличным значением.

Для планеты массой m, движущейся по круговой орбите радиуса r вокруг Солнца массой Mₛ, сила тяготения обеспечивает центростремительное ускорение.

1. Запишем равенство: GMₛm/r² = m·4π²r/T², где T — период обращения.
2. Сократим m и выразим гравитационную постоянную: G = 4π²r³/(MₛT²). Для эллиптической орбиты вместо r используют большую полуось.
3. Для оценки возьмём параметры орбиты Земли: r ≈ 1,496 · 10¹¹ м, T ≈ 365,256 суток ≈ 3,1558 · 10⁷ с, Mₛ ≈ 1,989 · 10³⁰ кг.
4. Подставим: G ≈ 4π²(1,496 · 10¹¹)³/[1,989 · 10³⁰(3,1558 · 10⁷)²] ≈ 6,67 · 10⁻¹¹ м³/(кг·с²).

Табличное значение G ≈ 6,6743 · 10⁻¹¹ м³/(кг·с²). Полученное значение близко к табличному; небольшое отличие связано с округлением исходных данных.

Ответ: G = 4π²r³/(MₛT²); по параметрам орбиты Земли G ≈ 6,67 · 10⁻¹¹ м³/(кг·с²).