7. Постройте в одной системе координат графики функций y = 8/x и y = 2x. Найдите координаты их общих точек.

Решение:

1. Построение графиков:

График функции \( y = \frac{8}{x} \) (обратная пропорциональность):

• Это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях, так как \( k = 8 > 0 \).
• Точки, принадлежащие графику: \( (1, 8); (2, 4); (4, 2); (8, 1) \) и \( (-1, -8); (-2, -4); (-4, -2); (-8, -1) \).

График функции \( y = 2x \) (прямая):

• Это прямая, проходящая через начало координат \( (0, 0) \).
• Точки, принадлежащие графику: \( (0, 0); (1, 2); (2, 4) \) и \( (-1, -2); (-2, -4) \).

2. Нахождение координат общих точек:

Общие точки — это точки, в которых графики пересекаются. Для их нахождения приравняем выражения для \( y \):

\( \frac{8}{x} = 2x \)

Умножим обе части на \( x \) (при условии \( x \neq 0 \)):

\( 8 = 2x^2 \)

Разделим на 2:

\( x^2 = 4 \)

Извлечём квадратный корень:

\( x = \pm 2 \)

Теперь найдём соответствующие значения \( y \), подставив \( x \) в любое из уравнений, например, в \( y = 2x \):

• При \( x = 2 \): \( y = 2 \times 2 = 4 \). Получаем точку \( (2; 4) \).
• При \( x = -2 \): \( y = 2 \times (-2) = -4 \). Получаем точку \( (-2; -4) \).

3. Визуализация (схематическое изображение):

Ответ: Координаты общих точек: \( (2; 4) \) и \( (-2; -4) \).