7) Произведение двух последовательных натуральных чисел в 3 раза больше квадрата меньшего из них. Найдите эти числа.

Решение:

Пусть меньшее из двух последовательных натуральных чисел будет \(n\), тогда следующее число будет \(n+1\).

1. Произведение этих чисел: \(n(n+1)\)
2. Квадрат меньшего числа: \(n^2\)
3. По условию задачи, произведение в 3 раза больше квадрата меньшего числа:
4. \(n(n+1) = 3n^2\)
5. Раскроем скобки:
6. \(n^2 + n = 3n^2\)
7. Перенесём все члены уравнения в одну сторону:
8. \(3n^2 - n^2 - n = 0\)
9. \(2n^2 - n = 0\)
10. Вынесем \(n\) за скобки:
11. \(n(2n - 1) = 0\)
12. Это уравнение имеет два решения:
13. \(n = 0\) или \(2n - 1 = 0\)
14. Из \(2n - 1 = 0\) следует \(n = \frac{1}{2}\).
15. По условию задачи, числа натуральные, то есть \(n\) должно быть натуральным числом. \(n = 0\) и \(n = \frac{1}{2}\) не являются натуральными числами. Следовательно, таких чисел не существует.

Ответ: Таких чисел не существует.