7. Радиус окружности, описанной около квадрата, равен \(4\sqrt{2}\). Найдите длину стороны этого квадрата.

Решение:

Радиус окружности, описанной около квадрата, равен половине диагонали квадрата. Диагональ квадрата связана со стороной \(a\) по теореме Пифагора: \(d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2\), откуда \(d = a\sqrt{2}\).

Следовательно, радиус описанной окружности \(R = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}\).

По условию задачи, \(R = 4\sqrt{2}\).

Приравняем два выражения для радиуса:

\[ \frac{a\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \]

1. Умножим обе части уравнения на 2: \(a\sqrt{2} = 8\sqrt{2}\).
2. Разделим обе части уравнения на \(\sqrt{2}\): \(a = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 8\).

Длина стороны квадрата равна 8.

Ответ: 8