7. Расстояние между двумя пунктами по реке равно 60 км. По течению реки лодка проплывает это расстояние за 4 ч, а против течения реки – за 6 ч. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения.

Решение:

Пусть \( v \) — собственная скорость лодки (км/ч), а \( c \) — скорость течения реки (км/ч).

Скорость лодки по течению: \( v + c \) (км/ч).

Скорость лодки против течения: \( v - c \) (км/ч).

Расстояние равно 60 км.

Время движения по течению — 4 часа.

Время движения против течения — 6 часов.

Воспользуемся формулой \( \text{расстояние} = \text{скорость} \times \text{время} \).

Составим систему уравнений:

1. По течению: \( (v + c) \times 4 = 60 \)

2. Против течения: \( (v - c) \times 6 = 60 \)

Упростим уравнения:

1. \( v + c = \frac{60}{4} \rightarrow v + c = 15 \)

2. \( v - c = \frac{60}{6} \rightarrow v - c = 10 \)

Получили систему:

\( \begin{cases} v + c = 15 \\ v - c = 10 \end{cases} \)

Сложим уравнения системы:

\( (v + c) + (v - c) = 15 + 10 \)
\( 2v = 25 \)
\( v = \frac{25}{2} \)
\( v = 12.5 \)

Подставим \( v = 12.5 \) в первое уравнение:

\( 12.5 + c = 15 \)
\( c = 15 - 12.5 \)
\( c = 2.5 \)

Проверим значения во втором уравнении:

\( 12.5 - 2.5 = 10 \). Верно.

Ответ: Собственная скорость лодки — 12,5 км/ч, скорость течения — 2,5 км/ч.