7. Решите систему уравнений { (2x-1)/5 + (3y-2)/4 = 2, (3x+1)/5 - (3y+2)/4 = 0.

Решение:

Дана система уравнений:

\( \begin{cases} \frac{2x-1}{5} + \frac{3y-2}{4} = 2 \\ \frac{3x+1}{5} - \frac{3y+2}{4} = 0 \end{cases} \)

Шаг 1: Приведем уравнения к общему знаменателю.

Для первого уравнения общий знаменатель — 20:

\( 4(2x-1) + 5(3y-2) = 2 \cdot 20 \)

\( 8x - 4 + 15y - 10 = 40 \)

\( 8x + 15y - 14 = 40 \)

\( 8x + 15y = 54 \) (1)

Для второго уравнения общий знаменатель — 20:

\( 4(3x+1) - 5(3y+2) = 0 \cdot 20 \)

\( 12x + 4 - 15y - 10 = 0 \)

\( 12x - 15y - 6 = 0 \)

\( 12x - 15y = 6 \) (2)

Шаг 2: Решим полученную систему методом сложения.

Сложим уравнения (1) и (2):

\( (8x + 15y) + (12x - 15y) = 54 + 6 \)

\( 20x = 60 \)

\( x = \frac{60}{20} \) → \( x = 3 \)

Шаг 3: Найдем значение y.

Подставим \( x=3 \) в уравнение (1):

\( 8(3) + 15y = 54 \)

\( 24 + 15y = 54 \)

\( 15y = 54 - 24 \)

\( 15y = 30 \)

\( y = \frac{30}{15} \) → \( y = 2 \)

Проверка:

Подставим \( x=3, y=2 \) в исходные уравнения:

Первое уравнение:

\( \frac{2(3)-1}{5} + \frac{3(2)-2}{4} = \frac{6-1}{5} + \frac{6-2}{4} = \frac{5}{5} + \frac{4}{4} = 1 + 1 = 2 \) (Верно)

Второе уравнение:

\( \frac{3(3)+1}{5} - \frac{3(2)+2}{4} = \frac{9+1}{5} - \frac{6+2}{4} = \frac{10}{5} - \frac{8}{4} = 2 - 2 = 0 \) (Верно)

Ответ: \( x=3, y=2 \).