7. Решите уравнение (4 балла): 54x³ - 24x = 0

Задание 7. Решение уравнения

Дано кубическое уравнение: 54x³ - 24x = 0

Решение:

1. Найдем общий множитель для обоих слагаемых. Числа 54 и 24 делятся на 6. Переменная x присутствует в обоих членах. Общий множитель — 6x.
2. Вынесем общий множитель 6x за скобки:

\[ 6x(9x^2 - 4) = 0 \]

3. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому приравниваем каждый множитель к нулю:

Вариант 1:

\[ 6x = 0 \]

Разделим обе части на 6:

\[ x = 0 \]

Вариант 2:

\[ 9x^2 - 4 = 0 \]

Это уравнение вида a² - b² = 0, которое можно разложить на множители как (a - b)(a + b) = 0. Здесь a = 3x, а b = 2 (так как (3x)² = 9x² и 2² = 4).

Разложим на множители:

\[ (3x - 2)(3x + 2) = 0 \]

Теперь приравняем каждый из этих множителей к нулю:

3а) 3x - 2 = 0

3x = 2

x = \(\frac{2}{3}\)

3б) 3x + 2 = 0

3x = -2

x = -\(\frac{2}{3}\)

Ответ: x = 0, x = ⅔, x = -⅔.