7. Решите уравнение: √x-1+√x+2 =3.

Решение:

Для решения уравнения \( \sqrt{x-1} + \sqrt{x+2} = 3 \) перенесем один из корней в правую часть, чтобы упростить возведение в квадрат.

1. Перенесем \( \sqrt{x-1} \):

\( \sqrt{x+2} = 3 - \sqrt{x-1} \)

2. Возведем обе части уравнения в квадрат:

\( (\sqrt{x+2})^2 = (3 - \sqrt{x-1})^2 \)

\( x+2 = 9 - 6\sqrt{x-1} + (x-1) \)

3. Раскроем скобки и упростим:

\( x+2 = 9 - 6\sqrt{x-1} + x - 1 \)

\( x+2 = 8 + x - 6\sqrt{x-1} \)

4. Сгруппируем члены с корнем:

\( 6\sqrt{x-1} = 8 + x - x - 2 \)

\( 6\sqrt{x-1} = 6 \)

5. Разделим обе части на 6:

\( \sqrt{x-1} = 1 \)

6. Снова возведем обе части в квадрат:

\( (\sqrt{x-1})^2 = 1^2 \)

\( x-1 = 1 \)

\( x = 1 + 1 \)

\( x = 2 \)

7. Проверим найденное значение \( x=2 \) в исходном уравнении:

\( \sqrt{2-1} + \sqrt{2+2} = \sqrt{1} + \sqrt{4} = 1 + 2 = 3 \)

Уравнение выполняется.

Ответ: \( x=2 \).