7. Решите задачу: Катер прошёл 12 км против течения и 5 км по течению. При этом он затратил столько же времени, сколько потребовалось бы, если бы он шёл 18 км по озеру. Какова собственная скорость катера, если известно, что скорость течения реки равна 3 км/ч?

Пусть v км/ч — собственная скорость катера. Тогда скорости против течения и по течению равны v − 3 и v + 3 км/ч, а скорость по озеру равна v км/ч.

По условию времена равны: 12/(v − 3) + 5/(v + 3) = 18/v, где v > 3.

Умножим обе части на v(v − 3)(v + 3): 12v(v + 3) + 5v(v − 3) = 18(v² − 9).

После раскрытия скобок: 17v² + 21v = 18v² − 162, то есть v² − 21v − 162 = 0.

Корни уравнения: v = 27 и v = −6. Условию v > 3 соответствует только 27.

Ответ: собственная скорость катера — 27 км/ч.