7. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки A (3; 1; -1), B (2; -1; 1) и C (2; 1; 1).

Найдём два направляющих вектора плоскости:

\(\overrightarrow{AB}=(-1;-2;2)\), \(\overrightarrow{AC}=(-1;0;2)\).

Их векторное произведение даёт нормальный вектор: \(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(-4;0;-2)\). Можно взять пропорциональный ему вектор \((2;0;1)\).

Запишем уравнение плоскости с этим нормальным вектором, проходящей через точку \(A(3;1;-1)\): \(2(x-3)+(z+1)=0\).

После упрощения получаем \(2x+z-5=0\). Подстановка координат точек \(A\), \(B\) и \(C\) подтверждает, что все они лежат в этой плоскости.

Ответ: \(2x+z-5=0\).