7. Тело брошено с поверхности земли вертикально вверх. Докажите, что время подъёма на землю вдвое больше времени подъёма на максимальную высоту. Какую скорость будет иметь тело при возвращении в точку броска?

Пусть начальная скорость тела равна \(v_0\), а ускорение свободного падения — \(g\). Время подъёма до максимальной высоты \(t_1\) найдём из условия, что в верхней точке скорость равна нулю:

\(0=v_0-gt_1\), поэтому \(t_1=\frac{v_0}{g}\).

Координата тела относительно точки броска: \(y=v_0t-\frac{gt^2}{2}\). При возвращении на землю \(y=0\), поэтому \(t\left(v_0-\frac{gt}{2}\right)=0\). Ненулевое решение: \(t_2=\frac{2v_0}{g}=2t_1\). Значит, полное время движения вдвое больше времени подъёма.

Скорость при возвращении: \(v=v_0-gt_2=v_0-2v_0=-v_0\). Знак минус означает направление вниз.

Ответ: время всего движения вдвое больше времени подъёма; при возвращении скорость по модулю равна начальной и направлена вертикально вниз.