7. The integer N is less than 100. √N and ∛N are both integers. a) Explain why N must be a square number. b) Find the value of N.

Перевод задания: Целое число \(N\) меньше 100. \(\sqrt N\) и \(\sqrt[3]N\) — целые числа. а) Объясните, почему \(N\) должно быть квадратом целого числа. б) Найдите значение \(N\).

а) Если \(\sqrt N\) — целое число, то по определению существует целое \(k\), для которого \(N=k^2\). Значит, \(N\) — квадрат целого числа.

а) Since \(\sqrt N\) is an integer, \(N=k^2\) for some integer \(k\). Therefore, \(N\) is a square number.

а) Поскольку \(\sqrt N\) — целое число, \(N=k^2\) для некоторого целого \(k\). Следовательно, \(N\) — квадрат целого числа.

б) Число, являющееся одновременно квадратом и кубом, — шестая степень целого числа. Шестые степени меньше 100: \(0^6=0\) и \(1^6=1\) (для положительных чисел; отрицательные основания дают те же значения при чётной степени). Поэтому при обычном понимании целого числа возможны \(N=0\) и \(N=1\). Если в учебном задании подразумеваются положительные числа больше 1, такого значения нет. Условие не исключает ноль.

б) The integer values are 0 and 1 (if zero is included). If N is required to be greater than 1, there is no solution.

б) Целые значения — 0 и 1 (если допускается ноль). Если требуется \(N>1\), решения нет.