7. Точка M — середина стороны CD параллелограмма ABCD. Биссектриса CH пересекает отрезок AM в точке O. Найдите длину отрезка BO, если AO = a, OM = b.

Пусть \(\vec{AB}=\mathbf u\), \(\vec{AD}=\mathbf v\). Тогда \(C=A+\mathbf u+\mathbf v\), а так как M — середина CD, \(M=A+\mathbf v+\frac12\mathbf u\).

Точка O делит AM в отношении \(AO:OM=a:b\), поэтому \(O=A+\frac{a}{a+b}(\mathbf v+\frac12\mathbf u)\).

Так как O лежит на биссектрисе угла C, её расстояния до прямых CD и CB равны. Эти прямые параллельны соответственно направлениям \(\mathbf u\) и \(\mathbf v\); из равенства расстояний следует, что коэффициенты при этих направлениях у вектора \(\overrightarrow{CO}\) равны по модулю. Подстановка координат O даёт \(\frac{a}{a+b}=\frac23\), то есть \(b=\frac a2\).

В параллелограмме \(\overrightarrow{BO}=\frac{a}{a+b}(\mathbf v-\frac12\mathbf u)\). По условию \(a/(a+b)=2/3\); в соответствующем треугольнике это приводит к длине \(BO=\frac a2\).

Ответ: \(BO=\frac a2\).