7. Упростить выражение: (4/(x²-4) + 1/(2-x)) * (x²+4x+4)/3.

Решение:

1. Приведем к общему знаменателю дроби в первой скобке. Учтем, что x²-4 = (x-2)(x+2) и 2-x = -(x-2).
• \[ \frac{4}{(x-2)(x+2)} + \frac{1}{2-x} = \frac{4}{(x-2)(x+2)} - \frac{1}{x-2} \]
• Общий знаменатель — (x-2)(x+2).
• \[ \frac{4}{(x-2)(x+2)} - \frac{1 \cdot (x+2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{4 - (x+2)}{(x-2)(x+2)} \]
• \[ = \frac{4 - x - 2}{(x-2)(x+2)} = \frac{2 - x}{(x-2)(x+2)} \]
• Заметим, что 2 - x = -(x - 2).
• \[ = \frac{-(x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{-1}{x+2} \]
2. Теперь умножим полученное выражение на вторую дробь:
• \[ \frac{-1}{x+2} \cdot \frac{x^2+4x+4}{3} \]
• Обратим внимание, что x²+4x+4 — это полный квадрат: (x+2)².
• \[ \frac{-1}{x+2} \cdot \frac{(x+2)^2}{3} \]
• Сократим (x+2):
• \[ \frac{-1 \cdot (x+2)}{3} = \frac{-x-2}{3} \]

Ответ: (-x-2)/3