7. Упростите выражение (y²-9)/(3-y) + (y²+6y+9)/5

Решение:

1. Приведём первое выражение к более удобному виду, вынеся знак минус из знаменателя: \( \frac{y^2 - 9}{3 - y} = \frac{y^2 - 9}{-(y - 3)} = -\frac{y^2 - 9}{y - 3} \)
2. Разложим числитель первой дроби как разность квадратов \( y^2 - 9 = (y - 3)(y + 3) \): \( -\frac{(y - 3)(y + 3)}{y - 3} \)
3. Сократим \( (y - 3) \), получим \( -(y + 3) = -y - 3 \).
4. Теперь сложим полученное выражение со второй дробью: \( (-y - 3) + \frac{y^2 + 6y + 9}{5} \)
5. Приведём к общему знаменателю 5: \( \frac{5(-y - 3) + y^2 + 6y + 9}{5} = \frac{-5y - 15 + y^2 + 6y + 9}{5} \)
6. Приведём подобные слагаемые в числителе: \( \frac{y^2 + y - 6}{5} \)
7. Разложим числитель на множители. Найдем корни уравнения \( y^2 + y - 6 = 0 \): \( y = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2} \). Корни: \( y_1 = \frac{-1+5}{2} = 2 \), \( y_2 = \frac{-1-5}{2} = -3 \).
8. Значит, \( y^2 + y - 6 = (y - 2)(y + 3) \).
9. Окончательно получаем: \( \frac{(y - 2)(y + 3)}{5} \)

Ответ: \(\frac{(y - 2)(y + 3)}{5}\).