7. В ателье за неделю использовали 357ₓ метров ткани, из которых на блузы ушло 93ₓ метров, 77ₓ — на платья, 129ₓ — юбки, 7Aₓ — рубашки. Каково основание системы счисления (чему равен x)?

Складываем расходы на разные изделия и приравниваем их общему расходу:

357ₓ = 93ₓ + 77ₓ + 129ₓ + 7Aₓ.

Так как в записи есть цифра A, основание должно быть больше 10. Переведём обе части в десятичные выражения через x:

357ₓ = 3x² + 5x + 7.

93ₓ + 77ₓ + 129ₓ + 7Aₓ = (9x + 3) + (7x + 7) + (x² + 2x + 9) + (7x + 10) = x² + 25x + 29.

Приравниваем и решаем:

3x² + 5x + 7 = x² + 25x + 29,

2x² − 20x − 22 = 0,

x² − 10x − 11 = 0,

(x − 11)(x + 1) = 0.

Получаем x = 11 или x = −1. Основание системы счисления должно быть положительным и превышать 10, поэтому подходит только 11.

Ответ: x = 11.