7. В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 8 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 200 мг. Найдите массу изотопа через 32 минуты. Ответ дайте в миллиграммах.

Это задача на экспоненциальное убывание, связанное с периодом полураспада.

Дано:

• Начальная масса ($$m_0$$) = 200 мг
• Период полураспада ($$T_{1/2}$$) = 8 минут
• Время наблюдения ($$t$$) = 32 минуты

Решение:

1. Найдем, сколько периодов полураспада прошло за 32 минуты:
• $$ \text{Количество периодов} = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{32 \text{ мин}}{8 \text{ мин}} = 4 $$
2. Рассчитаем массу изотопа после 4 периодов полураспада:
• После каждого периода полураспада масса уменьшается вдвое.
• После 1 периода: $$200 \text{ мг} / 2 = 100 \text{ мг}$$
• После 2 периодов: $$100 \text{ мг} / 2 = 50 \text{ мг}$$
• После 3 периодов: $$50 \text{ мг} / 2 = 25 \text{ мг}$$
• После 4 периодов: $$25 \text{ мг} / 2 = 12.5 \text{ мг}$$

Можно также использовать формулу:

$$m(t) = m_0 \times \big( \frac{1}{2} \big)^{\frac{t}{T_{1/2}}}$$

$$m(32) = 200 \times \big( \frac{1}{2} \big)^{\frac{32}{8}}$$

$$m(32) = 200 \times \big( \frac{1}{2} \big)^{4}$$

$$m(32) = 200 \times \frac{1}{16}$$

$$m(32) = \frac{200}{16} = 12.5$$

Ответ: 12.5