8. У Ани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 630 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в три раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 25 см?

Это задача на геометрическую прогрессию, где высота каждого следующего отскока уменьшается в 3 раза.

Дано:

• Высота после 1-го отскока ($$h_1$$) = 630 см
• Коэффициент уменьшения высоты ($$q$$) = 1/3
• Требуется найти номер отскока ($$n$$), после которого высота станет меньше 25 см.

Решение:

Высота после n-го отскока ($$h_n$$) описывается формулой геометрической прогрессии: $$h_n = h_1 \times q^{n-1}$$.

Нам нужно найти такое $$n$$, чтобы $$h_n < 25$$.

$$630 \times \big( \frac{1}{3} \big)^{n-1} < 25$$

Разделим обе стороны на 630:

$$\big( \frac{1}{3} \big)^{n-1} < \frac{25}{630}$$

$$\big( \frac{1}{3} \big)^{n-1} < \frac{5}{126}$$

Теперь будем подставлять значения $$n$$ (начиная с $$n=2$$, так как $$h_1$$ уже дана) и смотреть, когда условие выполнится.

• n=2 (после 2-го отскока):
• $$h_2 = 630 \times (\frac{1}{3})^{2-1} = 630 \times \frac{1}{3} = 210$$ см. ($$210 > 25$$)
• n=3 (после 3-го отскока):
• $$h_3 = 630 \times (\frac{1}{3})^{3-1} = 630 \times (\frac{1}{3})^2 = 630 \times \frac{1}{9} = 70$$ см. ($$70 > 25$$)
• n=4 (после 4-го отскока):
• $$h_4 = 630 \times (\frac{1}{3})^{4-1} = 630 \times (\frac{1}{3})^3 = 630 \times \frac{1}{27} = \frac{630}{27} \text{ (делим числитель и знаменатель на 9)} = \frac{70}{3} \text{ см} \text{ (примерно } 23.33 \text{ см)} $$

Таким образом, после 4-го отскока высота станет меньше 25 см.

Ответ: 4