7*. В окружности радиуса 12 см проведён диаметр и на нём взята точка А на расстояни 6 см от центра. Найдите радиус второй окружности, которая касается диаметра в точке А и изнутри касается данной окружности.

Краткое пояснение:

Дано:

• Большая окружность с центром O, радиус R = 12 см.
• Диаметр большей окружности.
• Точка A на диаметре, OA = 6 см.
• Малая окружность с центром O1 касается большей изнутри в точке T.
• Малая окружность касается диаметра в точке A.

Построение рисунка:

Представьте себе большую окружность. Проведите через её центр O горизонтальный диаметр. На этом диаметре отметьте точку A, которая находится на расстоянии 6 см от центра O. Теперь представьте маленькую окружность, которая касается большого круга изнутри и касается диаметра в точке A. Центр O1 маленькой окружности будет лежать на диаметре (или перпендикуляре к диаметру в точке A, но так как она касается изнутри, центр будет на линии, соединяющей центры).

Решение:

1. Пусть O — центр большей окружности, R — её радиус. R = 12 см.
2. Пусть O1 — центр меньшей окружности, r — её радиус.
3. Точка A лежит на диаметре большей окружности на расстоянии 6 см от центра O.
4. Так как малая окружность касается диаметра в точке A, то расстояние от центра O1 до точки A равно радиусу r, т.е. O1A = r.
5. Так как малая окружность касается большей окружности изнутри, расстояние между их центрами OO1 равно разности их радиусов: OO1 = R - r.
6. У нас есть два случая расположения центра O1 относительно точки A:
7. Случай 1: Точка A находится между центром O и точкой касания T.
8. В этом случае, O1 расположена дальше от O, чем A.
9. Тогда расстояние от O до O1 равно OA + O1A.
10. OO1 = OA + O1A.
11. Подставляем известные значения: R - r = OA + r.
12. 12 - r = 6 + r.
13. 12 - 6 = r + r.
14. 6 = 2r.
15. r = 3 см.
16. В этом случае: OO1 = 12 - 3 = 9 см. OA + O1A = 6 + 3 = 9 см. Это соответствует условию.
17. Случай 2: Центр O находится между точкой A и центром O1.
18. В этом случае, O1 расположена дальше от O, чем A.
19. Тогда расстояние от O до A равно расстоянию от O до O1 плюс расстояние от O1 до A.
20. OA = OO1 + O1A.
21. Подставляем известные значения: 6 = (R - r) + r.
22. 6 = R.
23. Но R = 12 см, поэтому этот случай невозможен.
24. Случай 3: Центр O1 находится между O и A.
25. Тогда OA = OO1 + O1A.
26. 6 = (R - r) + r.
27. 6 = R.
28. Это также противоречит условию R = 12.
29. Рассмотрим еще раз:
30. Центр O1 лежит на линии, соединяющей центр O и точку касания T.
31. Точка A лежит на диаметре, на расстоянии 6 см от O.
32. Малая окружность касается диаметра в точке A. Это значит, что центр O1 находится на перпендикуляре к диаметру в точке A, или на самом диаметре, если касание происходит вдоль диаметра.
33. Так как окружность касается изнутри, центры O и O1 и точка касания T лежат на одной прямой.
34. Диаметр, на котором лежит точка A, также является прямой, касательной для меньшей окружности.
35. Если меньшая окружность касается диаметра в точке A, то её центр O1 находится на расстоянии r от точки A.
36. Если O1 находится на том же диаметре, что и O и A, то два варианта:
37. 1. O1 находится между O и A. Тогда OA = OO1 + O1A => 6 = (12 - r) + r => 6 = 12, что неверно.
38. 2. A находится между O и O1. Тогда OO1 = OA + O1A => 12 - r = 6 + r => 6 = 2r => r = 3.
39. 3. O находится между A и O1. Тогда AO1 = AO + OO1 => r = 6 + (12-r) => r = 18 - r => 2r = 18 => r = 9.
40. Если r=9, то OO1 = R-r = 12-9 = 3. A находится между O и O1. OA = 6, O1A = 9, OO1 = 3. OA + OO1 = 6+3=9 != O1A. Этот случай тоже невозможен.
41. Итак, единственно возможный случай, когда центр O1 лежит на диаметре, а точка A находится между O и O1, дает r = 3.
42. Давайте проверим: R=12, r=3. Центры O и O1 на диаметре. OA = 6.
43. Если O1 между O и A, то OO1 = OA - O1A = 6 - r = 6 - 3 = 3. Но OO1 = R - r = 12 - 3 = 9. Противоречие.
44. Если A между O и O1, то OO1 = OA + O1A = 6 + r = 6 + 3 = 9. И OO1 = R - r = 12 - 3 = 9. Совпадает.
45. Таким образом, радиус второй окружности равен 3 см.

Ответ: 3 см