№7. В ΔOLP: OL = √5, OP = √2, ∠P = 45°. LP — ?

Сторона OL лежит напротив угла P. По теореме косинусов:

\(OL^2=OP^2+LP^2-2\cdot OP\cdot LP\cdot\cos\angle P\).

Пусть \(LP=x\). Тогда \(5=2+x^2-2\cdot\sqrt2\cdot x\cdot\frac{\sqrt2}{2}=2+x^2-2x\).

\(x^2-2x-3=0\), откуда \((x-3)(x+1)=0\). Поскольку длина положительна, \(x=3\).

Ответ: \(LP=3\).