7. В правильной треугольной пирамиде SABC точка M — середина ребра AB, S — вершина. Известно, что BC = 3, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 45. Найдите длину отрезка SM.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

В правильной треугольной пирамиде все три боковые грани имеют одинаковую площадь. Поэтому площадь одной боковой грани равна

\[S_{SAB}=\frac{45}{3}=15.\]

Так как \(M\) — середина \(AB\), то \(AM=\frac{AB}{2}=\frac32\). В равнобедренном треугольнике \(SAB\) медиана \(SM\) является высотой.

\[S_{SAB}=\frac12\cdot AB\cdot SM,\]

\[15=\frac12\cdot3\cdot SM,\qquad SM=10.\]

Ответ: 10.