7. В треугольнике ABC проведена биссектриса AK. Найдите периметр треугольника ABK, если ∠C = 20° и AK = CK.

Так как AK — биссектриса, то \(\angle BAK=\angle KAC\).

Поскольку \(AK=CK\), треугольник AKC равнобедренный, поэтому \(\angle KAC=\angle ACK=20^\circ\). Следовательно, \(\angle A=40^\circ\), а \(\angle B=120^\circ\).

Периметр треугольника ABK:

\(P_{ABK}=AB+BK+AK=AB+BC\), так как \(BK+AK=BC\) и \(AK=CK\).

По теореме синусов при \(AC=20\):

\(AB=\dfrac{20\sin20^\circ}{\sin120^\circ}\),
\(BC=\dfrac{20\sin40^\circ}{\sin120^\circ}\).

Тогда

\[P_{ABK}=\frac{20(\sin20^\circ+\sin40^\circ)}{\sin120^\circ}\approx22.6.\]

Ответ: примерно 22,6.