7. В треугольнике LKM: ∠K : ∠L : ∠M = 4 : 2 : 3, LM = 16, MK = x, LK = y. Найдите x и y.

Сумма частей отношения равна \(4+2+3=9\). Одна часть составляет \(180^\circ/9=20^\circ\), поэтому \(\angle K=80^\circ\), \(\angle L=40^\circ\), \(\angle M=60^\circ\).

По теореме синусов, так как сторона LM = 16 лежит напротив угла K:

\(\dfrac{x}{\sin40^\circ}=\dfrac{16}{\sin80^\circ}\), откуда \(x=\dfrac{16\sin40^\circ}{\sin80^\circ}\).

\(\dfrac{y}{\sin60^\circ}=\dfrac{16}{\sin80^\circ}\), откуда \(y=\dfrac{16\sin60^\circ}{\sin80^\circ}=\dfrac{8\sqrt3}{\sin80^\circ}\).

Ответ: \(x=\dfrac{16\sin40^\circ}{\sin80^\circ}\), \(y=\dfrac{8\sqrt3}{\sin80^\circ}\).