7. В треугольнике величины углов при вершинах относятся как 3 : 4 : 5, а длина стороны, лежащей против меньшего угла, равна \(\sqrt{2}\) см. Найдите длины сторон и площадь треугольника.

Обозначим углы треугольника как \(3x\), \(4x\) и \(5x\). Их сумма равна \(180^\circ\):

\(3x+4x+5x=180^\circ\), поэтому \(x=15^\circ\). Углы равны \(45^\circ\), \(60^\circ\) и \(75^\circ\).

Сторона длиной \(\sqrt{2}\) см лежит против угла \(45^\circ\). По теореме синусов отношение стороны к синусу противолежащего угла одинаково для всех сторон:

\(\frac{a}{\sin 45^\circ}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}/2}=2\).

Тогда сторона против угла \(60^\circ\) равна \(2\sin 60^\circ=\sqrt{3}\) см, а сторона против угла \(75^\circ\) равна \(2\sin 75^\circ=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\) см.

Площадь найдём по двум сторонам и углу между ними, взяв стороны против углов \(45^\circ\) и \(60^\circ\):

\(S=\frac12\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}\cdot\sin 75^\circ=\frac{3+\sqrt{3}}{4}\text{ см}^2\).

Ответ: стороны равны \(\sqrt{2}\) см, \(\sqrt{3}\) см и \(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\) см; площадь \(\frac{3+\sqrt{3}}{4}\text{ см}^2\).