8. В равнобедренном треугольнике угол при основании равен \(\alpha\). Найдите периметр треугольника, если его площадь равна \(S\).

Пусть боковая сторона равна \(l\), а основание — \(b\). Высота, опущенная к основанию, делит треугольник на два прямоугольных треугольника. В каждом из них \(b/2=l\cos\alpha\), поэтому \(b=2l\cos\alpha\), а высота равна \(l\sin\alpha\).

Из формулы площади:

\(S=\frac12 b\cdot l\sin\alpha=\frac12(2l\cos\alpha)l\sin\alpha=l^2\sin\alpha\cos\alpha\).

Следовательно, \(l=\sqrt{\frac{S}{\sin\alpha\cos\alpha}}\). Периметр равен \(P=2l+b=2l(1+\cos\alpha)\).

Ответ: \(P=2(1+\cos\alpha)\sqrt{\frac{S}{\sin\alpha\cos\alpha}}\).