7. В турнире по волейболу n команд сыграли в один круг (каждая играла с каждой по одному разу, ничьих в волейболе не бывает). Пусть P — сумма квадратов чисел, задающих количество побед каждой команды, Q — сумма квадратов чисел, задающих количество их поражений. Докажите, что P = Q.

Обозначим для команды \(i\) число побед через \(w_i\), а число поражений — через \(l_i\).

1. Каждая команда сыграла с остальными \(n-1\) раз, поэтому \(w_i+l_i=n-1\).
2. Используем разность квадратов: \(w_i^2-l_i^2=(w_i-l_i)(w_i+l_i)=(n-1)(w_i-l_i)\).
3. Суммируя по всем командам, получаем \(P-Q=(n-1)\sum_i(w_i-l_i)\).
4. В каждой игре одна команда выигрывает, а другая проигрывает, поэтому общее число побед равно общему числу поражений: \(\sum_i w_i=\sum_i l_i\). Значит, \(\sum_i(w_i-l_i)=0\), и потому \(P-Q=0\).

Следовательно, \(P=Q\).