7. Во сколько раз увеличится объем цилиндра, если, не изменяя высоту, увеличить радиус в 2√2 раза?

Решение:

Объем цилиндра вычисляется по формуле: \( V = \pi r^2 h \), где \( r \) — радиус основания, \( h \) — высота.

Пусть начальный радиус равен \( r_1 \), а начальный объем равен \( V_1 = \pi r_1^2 h \).

Новый радиус \( r_2 \) увеличивается в \( 2\sqrt{2} \) раза, то есть \( r_2 = r_1 \cdot 2\sqrt{2} \).

Высота \( h \) не изменяется.

Новый объем \( V_2 \) будет: \( V_2 = \pi r_2^2 h = \pi (r_1 \cdot 2\sqrt{2})^2 h = \pi (r_1^2 \cdot (2\sqrt{2})^2) h = \pi r_1^2 \cdot (4 \cdot 2) \cdot h = \pi r_1^2 \cdot 8 \cdot h \).

Теперь найдём, во сколько раз увеличится объем, то есть отношение \( V_2 / V_1 \).

\( \frac{V_2}{V_1} = \frac{\pi r_1^2 \cdot 8 \cdot h}{\pi r_1^2 h} = 8 \).

Значит, объем цилиндра увеличится в 8 раз.

Ответ: 8