7*. Высота BM, проведенная из вершины угла ромба ABCD, образует со стороной AB угол 30°, длина диагонали AC равна 6 см. Найдите AM, если точка M лежит на продолжении стороны AD.

Так как BM — высота к прямой AD, то \(BM\perp AD\). Угол между AB и BM равен 30°, следовательно, острый угол между AB и AD равен 60°. Поскольку M лежит на продолжении AD, соответствующий угол ромба при A — смежный, то есть 120°.

Диагональ AC делит угол A ромба пополам, поэтому \(\angle BAC=60°\). В треугольнике ABC стороны AB и BC равны, а угол между ними равен 60°, значит треугольник равносторонний. Тогда \(AB=AC=6\) см.

Треугольник ABM прямоугольный, а \(\angle ABM=30°\). Катет AM лежит напротив угла 30°, поэтому равен половине гипотенузы AB: \(AM=6:2=3\) см.

Ответ: 3 см.