7. Задайте формулой линейную функцию, график которой проходит через точку М(-1; 2) и не имеет с графиком функции y = (x⁴ - 3x³) / (x - 3) общих точек.

Нам нужно найти формулу линейной функции вида y = kx + b, которая удовлетворяет двум условиям:

1. График проходит через точку M(-1; 2).
2. График не имеет общих точек с функцией y = (x⁴ - 3x³) / (x - 3).

Шаг 1: Упрощение второй функции

Сначала упростим выражение для второй функции:

y = (x⁴ - 3x³) / (x - 3)

Вынесем x³ из числителя:

y = x³(x - 3) / (x - 3)

Если x ≠ 3, то мы можем сократить (x - 3):

y = x³

Таким образом, график данной функции — это кубическая парабола y = x³, но с выколотой точкой в x = 3. При x = 3, y = 3³ = 27. То есть, точка (3; 27) не принадлежит графику.

Шаг 2: Нахождение линейной функции, проходящей через M(-1; 2)

Подставим координаты точки M(-1; 2) в уравнение линейной функции y = kx + b:

2 = k(-1) + b

2 = -k + b

Отсюда выразим b через k:

b = 2 + k

Итак, наша линейная функция имеет вид: y = kx + (2 + k).

Шаг 3: Нахождение условия отсутствия общих точек

Линейная функция y = kx + (2 + k) не должна иметь общих точек с функцией y = x³ (с учетом выколотой точки (3; 27)).

Приравняем уравнения, чтобы найти точки пересечения:

kx + 2 + k = x³

x³ - kx - (2 + k) = 0

Эта кубическая функция должна иметь либо один корень (если она не пересекает прямую), либо не иметь действительных корней вообще, либо пересекать ее в единственной точке, которая совпадает с выколотой точкой (3; 27).

Мы знаем, что точка M(-1; 2) уже лежит на графике линейной функции. Давайте проверим, лежит ли она на графике y = x³:

2 = (-1)³ = -1. Это неверно. Значит, точка M(-1; 2) не лежит на графике y = x³.

Нам нужно, чтобы уравнение x³ - kx - (2 + k) = 0 не имело решений, кроме, возможно, точки x=3.

Рассмотрим случай, когда линейная функция параллельна касательной к графику y = x³ в некоторой точке.

Производная y = x³ равна y' = 3x². Это наклон касательной в точке x.

Если бы наша линейная функция была касательной, она бы имела одну точку пересечения (или одну точку касания).

Нам нужно, чтобы прямая y = kx + b не пересекала кривую y = x³. Это возможно, если прямая параллельна одной из ветвей гиперболы, но у нас кубическая парабола.

Более вероятно, что нам нужно найти такое k и b, чтобы уравнение x³ - kx - (2 + k) = 0 не имело действительных корней. Это сложно для кубического уравнения.

Давайте рассмотрим крайние случаи. Если линейная функция проходит через точку M(-1; 2), и она не должна пересекать y = x³.

Есть один очень специфический случай, когда линейная функция не пересекает кубическую: если она проходит через точку, которая является точкой перегиба кубической параболы, и ее наклон равен наклону касательной в этой точке, но при этом прямая проходит через другую точку. Это не наш случай.

Другой вариант: прямая является той же функцией, что и y = x³, но с выколотой точкой. Это невозможно, так как линейная функция имеет постоянный наклон.

Давайте вернемся к уравнению: x³ - kx - (2 + k) = 0.

Мы знаем, что k = b - 2. Подставим это:

x³ - (b - 2)x - b = 0

x³ + 2x - b + 2 - kx = 0

x³ - (b - 2)x - b = 0

Если мы попробуем подставить x=1:

1³ - k(1) - (2 + k) = 1 - k - 2 - k = -1 - 2k. Если это равно 0, то k = -1/2.

Если k = -1/2, то b = 2 + (-1/2) = 3/2. Функция: y = -1/2 x + 3/2.

Проверим уравнение: x³ - (-1/2)x - (2 - 1/2) = 0

x³ + 1/2 x - 3/2 = 0

2x³ + x - 3 = 0

Мы знаем, что x=1 является корнем: 2(1)³ + 1 - 3 = 2 + 1 - 3 = 0.

Разделим 2x³ + x - 3 на (x - 1).

(2x³ + x - 3) : (x - 1) = 2x² + 2x + 3

Квадратное уравнение 2x² + 2x + 3 = 0. Дискриминант D = 2² - 4(2)(3) = 4 - 24 = -20 < 0. Корней нет.

Итак, при k = -1/2 и b = 3/2, линейная функция y = -1/2 x + 3/2 пересекает y = x³ только в точке x=1. То есть, у них одна общая точка.

Нам нужно, чтобы не было общих точек.

Возможно, линейная функция должна быть параллельна оси X, то есть k=0. Тогда y = b. Из условия прохождения через M(-1; 2), b = 2. Функция y = 2. Пересекается ли y = 2 с y = x³? Да, при x³ = 2, то есть x = ³√2.

Рассмотрим случай, когда прямая является горизонтальной асимптотой к какому-либо графику. Для y=x³ нет горизонтальных асимптот. Для y = (x⁴ - 3x³) / (x - 3) = x³ (при x ≠ 3), тоже нет.

Подумаем о наклоне. Если наклон прямой k равен наклону касательной к y = x³ в точке x=3, это может быть интересным.

В точке x=3, y = x³ = 27. Наклон касательной в этой точке: y'(3) = 3 * (3)² = 3 * 9 = 27. Значит, k = 27.

Если k = 27, то b = 2 + k = 2 + 27 = 29. Линейная функция: y = 27x + 29.

Проверим, пересекает ли эта прямая y = x³. Уравнение: x³ - 27x - 29 = 0.

Мы знаем, что x=3 не является корнем, потому что 27(3) + 29 = 81 + 29 = 110 ≠ 27.

Подставим x = -1 (точка M): 27(-1) + 29 = -27 + 29 = 2. Это точка M, она должна лежать на прямой.

Теперь решим x³ - 27x - 29 = 0.

Попробуем найти корни. Если x = -1: (-1)³ - 27(-1) - 29 = -1 + 27 - 29 = 26 - 29 = -3 ≠ 0.

Если x = -2: (-2)³ - 27(-2) - 29 = -8 + 54 - 29 = 46 - 29 = 17 ≠ 0.

Если x = -3: (-3)³ - 27(-3) - 29 = -27 + 81 - 29 = 54 - 29 = 25 ≠ 0.

Если x = -5: (-5)³ - 27(-5) - 29 = -125 + 135 - 29 = 10 - 29 = -19 ≠ 0.

Возможно, есть решение, где прямая y = kx + b совпадает с функцией y = x³ за исключением одной точки, что невозможно для линейной функции.

Рассмотрим другой подход. Линейная функция y = kx + b не имеет общих точек с y = x³, если она расположена так, что не пересекает параболу.

Если бы прямая была касательной к y = x³, она бы имела одну точку пересечения. Чтобы не было общих точек, прямая должна быть «выше» или «ниже» всей кривой. Это невозможно для прямой и кубической параболы.

Единственный способ, которым линейная функция может не иметь общих точек с y = x³ (или y = x³ с выколотой точкой), это если она проходит через ту самую выколотую точку (3; 27) и ее наклон k таков, что она не пересекает кривую y = x³ нигде больше.

Поскольку линейная функция y = kx + b должна проходить через M(-1; 2), мы имеем: b = 2 + k.

Если прямая проходит через точку (3; 27), то 27 = k(3) + b.

Теперь у нас система из двух уравнений:

1. b = 2 + k
2. 27 = 3k + b

Подставим первое во второе:

27 = 3k + (2 + k)

27 = 4k + 2

25 = 4k

k = 25/4

Теперь найдем b:

b = 2 + k = 2 + 25/4 = 8/4 + 25/4 = 33/4

Итак, линейная функция: y = (25/4)x + 33/4.

Эта функция проходит через точку M(-1; 2), потому что: (25/4)(-1) + 33/4 = -25/4 + 33/4 = 8/4 = 2. Верно.

Эта функция также проходит через точку (3; 27), потому что: (25/4)(3) + 33/4 = 75/4 + 33/4 = 108/4 = 27. Верно.

Теперь нужно проверить, имеет ли эта прямая y = (25/4)x + 33/4 общие точки с y = x³, кроме точки (3; 27).

Уравнение пересечения: x³ = (25/4)x + 33/4

4x³ = 25x + 33

4x³ - 25x - 33 = 0

Мы знаем, что x = 3 является корнем этого уравнения. Разделим 4x³ - 25x - 33 на (x - 3).

Используя схему Горнера:

| 4 0 -25 -33

3 | 12 36 33

-------------------

4 12 11 0

Результат деления: 4x² + 12x + 11.

Теперь найдем корни квадратного уравнения 4x² + 12x + 11 = 0.

Дискриминант: D = b² - 4ac = 12² - 4(4)(11) = 144 - 176 = -32.

Так как дискриминант отрицательный (D < 0), квадратное уравнение 4x² + 12x + 11 = 0 не имеет действительных корней.

Это означает, что единственной точкой пересечения прямой y = (25/4)x + 33/4 и кривой y = x³ является точка x = 3, то есть (3; 27).

Поскольку исходная функция y = (x⁴ - 3x³) / (x - 3) имеет выколотую точку в (3; 27), то линейная функция y = (25/4)x + 33/4 не имеет с ней общих точек.

Ответ: Формула линейной функции: y = (25/4)x + 33/4