71. Из пункта A в пункт B вниз по течению отправляется катер. Дойдя до пункта B, он мгновенно разворачивается и возвращается в пункт A. Скорость течения реки 3 км/ч. Определите среднюю скорость катера за все время движения, если известно, что на путь из A в B катер затратил в 2 раза меньше времени, чем на обратный путь. Скорость катера относительно воды не изменяется.

Обозначим скорость катера относительно воды через \(v\) км/ч, а расстояние между пунктами — через \(s\) км. Скорости относительно берега: вниз по течению — \(v+3\), вверх — \(v-3\) км/ч.

По условию время пути вниз вдвое меньше времени обратного пути:

\(\dfrac{s}{v+3}=\dfrac12\cdot\dfrac{s}{v-3}\).

Сокращаем на \(s\) и решаем: \(2(v-3)=v+3\), откуда \(v=9\) км/ч. Значит, скорости катера относительно берега равны 12 км/ч вниз и 6 км/ч вверх.

За одинаковые расстояния средняя скорость равна среднему гармоническому скоростей:

\(v_{\text{ср}}=\dfrac{2\cdot12\cdot6}{12+6}=8\) км/ч.

Ответ: 8 км/ч.