№ 72. Разложите на множители: а) (x + y)²-z²; б) (x - y)² - z²; в) m²- (n + k)²; г) m²- (n - k)²; д) (a + 4)²-16; е) 100 - (10 - n)²; ж) 81 - 4(p + 3)²; з) 9(4-x)²-16; и) 16(2x+1)²-4/9; к) (x + y)²- (x - y)²; л) (2m-n)²-(m + 2n)²; м) (3n +2p)²-(5p - 2n)²; н) 100·(6а + 3b)²- 81·(3a + 2b)²; o) 49·(5x² + 8)²-36·(4x² - 1).

Решение:

Воспользуемся формулой разности квадратов: \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \).

а) \( (x + y)^2 - z^2 \)

\( ((x + y) - z)((x + y) + z) = (x + y - z)(x + y + z) \)

б) \( (x - y)^2 - z^2 \)

\( ((x - y) - z)((x - y) + z) = (x - y - z)(x - y + z) \)

в) \( m^2 - (n + k)^2 \)

\( (m - (n + k))(m + (n + k)) = (m - n - k)(m + n + k) \)

г) \( m^2 - (n - k)^2 \)

\( (m - (n - k))(m + (n - k)) = (m - n + k)(m + n - k) \)

д) \( (a + 4)^2 - 16 \)

\( (a + 4)^2 - 4^2 = ((a + 4) - 4)((a + 4) + 4) = a(a + 8) \)

е) \( 100 - (10 - n)^2 \)

\( 10^2 - (10 - n)^2 = (10 - (10 - n))(10 + (10 - n)) = (10 - 10 + n)(10 + 10 - n) = n(20 - n) \)

ж) \( 81 - 4(p + 3)^2 \)

\( 9^2 - (2(p + 3))^2 = (9 - 2(p + 3))(9 + 2(p + 3)) = (9 - 2p - 6)(9 + 2p + 6) = (3 - 2p)(15 + 2p) \)

з) \( 9(4-x)^2 - 16 \)

\( (3(4 - x))^2 - 4^2 = (12 - 3x)^2 - 4^2 = ((12 - 3x) - 4)((12 - 3x) + 4) = (8 - 3x)(16 - 3x) \)

и) \( 16(2x+1)^2 - \frac{4}{9} \)

\( (4(2x+1))^2 - (\frac{2}{3})^2 = (8x + 4)^2 - (\frac{2}{3})^2 = ((8x + 4) - \frac{2}{3})((8x + 4) + \frac{2}{3}) = (8x + \frac{10}{3})(8x + \frac{14}{3}) \)

к) \( (x + y)^2 - (x - y)^2 \)

\(((x + y) - (x - y))((x + y) + (x - y)) = (x + y - x + y)(x + y + x - y) = (2y)(2x) = 4xy \)

л) \( (2m-n)^2 - (m + 2n)^2 \)

\(((2m - n) - (m + 2n))((2m - n) + (m + 2n)) = (2m - n - m - 2n)(2m - n + m + 2n) = (m - 3n)(3m + n) \)

м) \( (3n + 2p)^2 - (5p - 2n)^2 \)

\(((3n + 2p) - (5p - 2n))((3n + 2p) + (5p - 2n)) = (3n + 2p - 5p + 2n)(3n + 2p + 5p - 2n) = (5n - 3p)(7p) \)

н) \( 100(6a + 3b)^2 - 81(3a + 2b)^2 \)

\( (10(6a + 3b))^2 - (9(3a + 2b))^2 = (60a + 30b)^2 - (27a + 18b)^2 \)
\(((60a + 30b) - (27a + 18b))((60a + 30b) + (27a + 18b)) = (33a + 12b)(87a + 48b) \)

о) \( 49(5x^2 + 8)^2 - 36(4x^2 - 1)^2 \)

\( (7(5x^2 + 8))^2 - (6(4x^2 - 1))^2 = (35x^2 + 56)^2 - (24x^2 - 6)^2 \)
\(((35x^2 + 56) - (24x^2 - 6))((35x^2 + 56) + (24x^2 - 6)) = (11x^2 + 62)(59x^2 + 50) \)

Ответ: а) (x + y - z)(x + y + z); б) (x - y - z)(x - y + z); в) (m - n - k)(m + n + k); г) (m - n + k)(m + n - k); д) a(a + 8); е) n(20 - n); ж) (3 - 2p)(15 + 2p); з) (8 - 3x)(16 - 3x); и) (8x + 10/3)(8x + 14/3); к) 4xy; л) (m - 3n)(3m + n); м) (5n - 3p)(7p); н) (33a + 12b)(87a + 48b); o) (11x² + 62)(59x² + 50).