72. В треугольнике ABC стороны AB, BC и CA равны 7, 4 и 8 соответственно. Можно ли утверждать, что этот треугольник остроугольный? Подтвердите или опровергните утверждение. 1. Вид треугольника определяется наибольшим углом. Так как CA > AB, BC, то ∠B > ∠A, ∠C. Значит, в треугольнике ABC наибольший угол — ∠B. 2. По теореме косинусов CA² = AB² + BC² − 2AB·BC cos B. Если cos B > 0, то угол B — острый. 3. Если cos B < 0, то угол B — тупой. 4. Итак, треугольник ABC — остроугольный, тупоугольный или прямоугольный? Утверждение о том, что треугольник ABC остроугольный, подтвердите или опровергните.

Наибольшей стороне CA = 8 см соответствует угол B. Сравним квадрат наибольшей стороны с суммой квадратов двух других сторон:

\(CA^2=8^2=64\),

\(AB^2+BC^2=7^2+4^2=49+16=65\).

Так как \(64<65\), то \(\angle B<90^\circ\). Остальные углы также меньше \(90^\circ\), поэтому треугольник остроугольный.

Кроме того, по теореме косинусов:

\(\cos B=\dfrac{7^2+4^2-8^2}{2\cdot7\cdot4}=\dfrac{1}{56}>0\), значит, угол B острый.

Ответ: утверждение верно; треугольник ABC остроугольный.