727. Разложите на множители многочлен: a) x³ + x² + x + 1; б) y⁵ – y³ – y² + 1; в) a⁴ + 2a³ - a - 2; г) b⁶ - 3b⁴ - 2b² + 6; д) a² - ab - 8a + 8b;\(\ne\)) ab - 3b + b² - 3a; ж) 11x - xy + 11y - x²; 3) kn - mn - n² + mk.

Решение:

Для разложения многочленов на множители будем применять метод группировки.

1. a) x³ + x² + x + 1
   Сгруппируем: \( (x³ + x²) + (x + 1) \).
   Вынесем общие множители: \( x²(x + 1) + 1(x + 1) \).
   Вынесем общий множитель \( (x + 1) \): \( (x + 1)(x² + 1) \).
2. б) y⁵ – y³ – y² + 1
   Сгруппируем: \( (y⁵ - y³) + (-y² + 1) \).
   Вынесем общие множители: \( y³(y² - 1) - 1(y² - 1) \).
   Вынесем общий множитель \( (y² - 1) \): \( (y² - 1)(y³ - 1) \).
3. в) a⁴ + 2a³ - a - 2
   Сгруппируем: \( (a⁴ + 2a³) + (-a - 2) \).
   Вынесем общие множители: \( a³(a + 2) - 1(a + 2) \).
   Вынесем общий множитель \( (a + 2) \): \( (a + 2)(a³ - 1) \).
4. г) b⁶ - 3b⁴ - 2b² + 6
   Сгруппируем: \( (b⁶ - 3b⁴) + (-2b² + 6) \).
   Вынесем общие множители: \( b⁴(b² - 3) - 2(b² - 3) \).
   Вынесем общий множитель \( (b² - 3) \): \( (b² - 3)(b⁴ - 2) \).
5. д) a² - ab - 8a + 8b
   Сгруппируем: \( (a² - ab) + (-8a + 8b) \).
   Вынесем общие множители: \( a(a - b) - 8(a - b) \).
   Вынесем общий множитель \( (a - b) \): \( (a - b)(a - 8) \).
6. е) ab - 3b + b² - 3a
   Переставим слагаемые: \( (ab + b²) + (-3a - 3b) \).
   Вынесем общие множители: \( b(a + b) - 3(a + b) \).
   Вынесем общий множитель \( (a + b) \): \( (a + b)(b - 3) \).
7. ж) 11x - xy + 11y - x²
   Переставим слагаемые: \( (11x + 11y) + (-xy - x²) \).
   Вынесем общие множители: \( 11(x + y) - x(y + x) \).
   Вынесем общий множитель \( (x + y) \): \( (x + y)(11 - x) \).
8. 3) kn - mn - n² + mk
   Переставим слагаемые: \( (kn + mk) + (-mn - n²) \).
   Вынесем общие множители: \( k(n + m) - n(m + n) \).
   Вынесем общий множитель \( (n + m) \): \( (n + m)(k - n) \).

Ответ: а) (x + 1)(x² + 1); б) (y² - 1)(y³ - 1); в) (a + 2)(a³ - 1); г) (b² - 3)(b⁴ - 2); д) (a - b)(a - 8); е) (a + b)(b - 3); ж) (x + y)(11 - x); 3) (n + m)(k - n).