74. 49 Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: y = x², y = 0;x = 4

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной линиями \( y = x^2 \), \( y = 0 \) (ось абсцисс), \( x = 0 \) и \( x = 4 \), вычисляется по формуле:

\[ S = \int_{a}^{b} f(x) dx \]

В данном случае \( f(x) = x^2 \), \( a = 0 \) и \( b = 4 \).

1. Найдём первообразную для \( f(x) = x^2 \):



\[ F(x) = \int x^2 dx = \frac{x^3}{3} \]



2. Вычислим определённый интеграл:



\[ S = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{4} = \frac{4^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{64}{3} - 0 = \frac{64}{3} \]

Ответ: \( \frac{64}{3} \).